Première approche.
Un
exemple de tresse : le demi-tour à quatre brins
Qu'est-ce qu'une tresse ?
On peut voir une tresse comme un ensemble de brins qui partent alignés
et régulièrement espacés puis qui descendent en interchangeant
leurs places.
On a ici un exemple de tresse avec quatres brins numerotés de
zéro à trois. Cette tresse comporte six croisements de brins.
Permutation associée à une tresse.
L'ordre de l'alignement des brins en bas d'une tresse n'est pas nécessairement
le même que ce qu'il était en haut. Sur l'exemple l'ordre
de départ des brins est 0,1,2,3 alors que l'ordre d'arrivée
est 3,2,1,0. A cette tresse on associe donc la permutation (0,1,2,3) ->
(3,2,1,0). Cette tresse particulière est appelée demi-tour
car la permutation associée a pour effet d'inverser l'ordre des
brins.
Définition mathématique : les tresses forment un groupe.
La définition mathématique rigoureuse des tresses fait appel
à la notion de groupe d'homotopie. On peut en effet mettre un produit sur
les tresses et inverser une tresse. L'élément neutre appelé
tresse triviale est la tresse qui ne comporte aucuns croisements.